Matriks uniter
Dalam aljabar linear, matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi
Sifat[sunting | sunting sumber]
Matriks uniter dapat didefinisikan lewat banyak cara. Jika adalah matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:[1]
- adalah matriks uniter.
- adalah matriks uniter.
- terbalikkan, dengan invers .
- Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
- Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
- adalah suatu isometri terhadap norma yang biasa. Dengan kata lain, untuk sembarang , dengan .
- merupakan matriks normal (secara ekuivalen, ada suatu basis ortonormal yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari ) dengan nilai-nilai eigennya terletak pada lingkaran satuan.
Selain itu, sifat-sifat berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks uniter berukuran hingga:
- Untuk sembarang vektor kompleks dan , perkalian dengan akan mempertahankan hasil kali dalam kedua vektor tersebut; dengan kata lain, .
- juga merupakan matriks normal, karena .
- Sebagai akibat dari teorema spektral, dapat diagonalkan; dengan kata lain, serupa secara uniter dengan suatu matriks diagonal.. Hal ini mengartikan memiliki faktorisasi berbentuk , dengan berupa matriks uniter, dan berupa matriks diagonal dan uniter.
- .
- Ruang eigen dari bersifat ortogonal.
- dapat ditulis sebagai , dengan menyatakan eksponensiasi matriks, adalah unit imajiner, dan berupa matriks Hermite.
Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif , himpunan semua matriks uniter berukuran yang dilengkapi operasi perkalian matriks akan membentuk sebuah grup, yang dikenal sebagai grup uniter .
Konstruksi secara sederhana[sunting | sunting sumber]
Matriks uniter berukuran 2 × 2[sunting | sunting sumber]
Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran 2 × 2 adalah
yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari , fasa dari , magnitudo relatif antara dan , dan sudut and φ. Determinan dari matriks tersebut adalah
Matriks juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:
yang, dengan memperkenalkan variabel dan , akan memiliki faktorisasi berbentuk:
Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran 2 × 2 dan matriks ortogonal dengan sudut θ. Bentuk faktorisasi lain adalah[2]
Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.[3][4][5]
Referensi[sunting | sunting sumber]
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411.
- ^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and Its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.
- ^ Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P., ed., "Quantum Gates", Explorations in Quantum Computing, Texts in Computer Science (dalam bahasa Inggris), London: Springer, hlm. 82, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, diakses tanggal 2021-05-14
- ^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
- ^ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A.; Weinfurter, Harald (1995-11-01). "Elementary gates for quantum computation". Physical Review A. American Physical Society (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv:quant-ph/9503016 . doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN 1050-2947., page 8
Pranala luar[sunting | sunting sumber]
- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
- Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- "Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.